函数世界的杀手，初中代数的梦魇——二次函数，折磨着一代又一代的初三学子。甚至在高中，都会有很大一部分的内容是围绕二次函数进行的，二次函数的代表性和重要性可见一斑。较多的知识点，错综复杂的联系，题目中变化多端的思路和技巧，这些都是让二次函数成为最有难度的一章内容当之无愧。超级课堂从定义和解析式开始破解二次函数，涉及到图像，性质，系数，求根公式和根等等一系列完整的知识体系，逐步深入，环环相扣，帮你彻底解决二次函数。
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1、二次函数的一般式：$y=ax^{2}+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\neq 0$）。
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判定二次函数的依据：自变量的最高次是二次，且二次项系数不为零，且解析式的右边一定是整式，不能包含分式或根式。
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1、二次函数解析式的求法，还是待定系数法。一般有几个未知系数就要代入几组$xy$值，其实就是解多元方程。
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1、二次函数$y=ax^{2}$（$a\neq 0$）的图象是抛物线，顶点就是原点，对称轴是$y$轴。
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1、学习二次函数$y=ax^{2}$ $（a\neq 0）$图象的三个重要的性质。
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1、通过平移变换推导，把最简单的二次函数解析式$y=ax^{2}$变成了顶点式$y=a(x-h)^{2}+k$，发现了港式顶点$\left ( h,k \right )$。
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1、认识两种特殊的顶点式，第一类是$y=a(x-h)^{2}$，对称轴是$x=h$，顶点是$(h，0)$。第二类是$y=ax^{2}+k$。对称轴是$y$轴，顶点是$(0，k)$。
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1、学习用配方法转化二次函数解析式。
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三步走：第一步，提系数；第二步，加减常数；第三步，整理式子。要注意它与一元二次方程配方的区别。
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1、学习用公式法转化二次函数解析式。
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把一般式$y=ax^{2}+bx+c$配方成顶点式$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^{2}+\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$ ，得到了两个公式，对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点坐标$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a})$。
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1、图象的形状完全由$a$决定，$a$的正负决定开口方向，$a>
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0$，开口向上；$a<
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0$，开口向下。
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$\left | a \right |$的大小决定开口大小：$\left | a \right |$越大，开口越小；$\left | a \right |$越小，开口越大。
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只有$a$相同的函数才能进行平移变换。
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1、初步认识二次函数的最值。它们可以通过公式法或者配方法来求，求之前由$a$的正负在草纸上随手画一道开口正确的彩虹，接下来就看图说话了。$a＞0$时，最小值为$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$ ；$a＜0$时，最大值为$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$。
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1、抛物线的增减性，搞清对称轴和$a$的正负，然后画个弧线，看看对称轴两边的曲线，哪个上升，哪个下降
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抛物线与坐标轴的交点。令$x$等于$0$，求得就是跟$y$轴的交点$\left ( 0,c \right )$。
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令$y$等于$0$，就能求出跟$x$轴的交点个数，这是二次函数变成二次方程，直接由判别式就可以确定抛物线和$x$的关系。
4、
判别式大于$0$，则图像与$x$轴就有两个交点；判别式等于$0$，则图像与$x$轴有一个交点；判别式小于$0$，则图像与$x$轴没有交点。
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1、$abc$对于图像的影响，$a$决定抛物线的形状，$b$和$a$一起决定了对称轴位置，$c$决定了图像和$y$轴的交点。
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看图判断$abc$的正负，一句口诀搞定：“一看开口二看轴，$y$上交点瞅一瞅”。
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1、学习了判断$abc$组成的式子正负的前两种方法。
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第一种，最简单的，由$a$、$b$、$c$各自的正负判断组合式的正负，需要利用不等式的性质。
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第二种，找特殊的$x$值。把正负$1$，正负$2$这种点代入，就能够产生$a+b+c$、$4a-2b+c$这种$a$、$b$、$c$组合的式子，然后在图像上看看这个$x$值对应的位置，就知道这时的函数值是正是负了。
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1、学习了判断$abc$组成的式子正负的第三种方法：通过交点$x_{1}x_{2}$的范围，来确定$ab$或$ac$组合的式子。其中$ab$组合的式子，需要通过$x_{1}x_{2}$判断对称轴的范围，再用对称轴公式$\dfrac{x_{1}x_{2}}{2}=-\dfrac{b}{2a}$ 判断$a$和$b$的不等关系，得到$a$、$b$组合式的正负。而对于$ac$组合的式子，要利用韦达定理$x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$。
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1、$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$。交点式就是$x$和两个交点横坐标的差，写成乘积的形式，再加一个二次项系数$a$。
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知道函数的图像和$x$轴交点时，就可以用交点式来设解析式，然后待定系数法搞定。
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对于二次函数的三种解析式：一般式，顶点式和交点式。
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1、三选一大致是如下规则：有顶点坐标或对称轴时首选设顶点式，有$x$轴上两点的坐标时首选设交点式，只有三个普通点的坐标就只能设一般式。
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不要生搬硬套，又快又准地得到解析式才是终极目标。
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1、抛物线和$y$轴的交点，看$c$。交点坐标就是$\left ( 0,c \right )$。
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抛物线和$x$轴的交点，被转化成了一元二次方程根的问题。通过判别式搞定。
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当$\Delta =b^{2}-4ac＞0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$\Delta =b^{2}-4ac=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点；当$\Delta =b^{2}-4ac＜0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
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综合一下就是抛物线与坐标轴最少有$1$个交点，最多有$3$个交点。
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1、当抛物线与$x$轴有两个交点时，交点间的距离公式常常会用到，$\dfrac{\sqrt{\left | \Delta
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\right |}}{\left | a \right |}$，同学们要好好掌握，用起来超方便哦。
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1、对于平移，遵循“左加右减，上加下减”。
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对于轴对称变换，要先把一般式化为顶点式，再去观察变换对开口方向和顶点的影响，也就是$a$的符号变化和$h$、$k$的变化。
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如果开口方向相反，$a$的符号就要改变。
4、
关于顶点的变化，用对称轴的$2$倍减去相应的原坐标，就是新坐标。
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1、学习抛物线的中心对称变换。旋转$180^{\circ}$的中心对称，相当于横纵坐标都进行了一次对称变换。
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1、当$x$取值范围是全体实数时，$a>
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0$时二次函数只有最小值，$a<
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0$时二次函数只有最大值，都在顶点处取得，数值都是顶点的纵坐标，也可以把解析式配方成$y=(x-k)^{2}+k$，最值就是$y=k$。
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1、当$x$被限定在一个范围内时，二次函数的最值必定在顶点或端点处取得，要借助大致的图像来判断最值的具体位置。
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1、直线与抛物线的位置关系：相交、相切、相离，分别是两个交点，一个交点和没有交点。
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判定的方法就是联立方程组，确定判别式的正负。
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1、直线与抛物线的公共点坐标的求法是，把联立得到的方程组解出来，每组相应的$x$与$y$便组成一个交点。
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讲解一道可以巧解的题目，用到了韦达定理，体现了设而不求的数学方法。
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