本课程深入探讨了排列与组合的数学原理及其应用，首先介绍了排列的概念和排列数公式，让学生理解如何从给定元素中选取并排序。随后，课程探讨了环形排列的特点和计算方法，区分了围坐问题和珠链问题。课程继续讲解了组合的概念，强调了组合数与排列数的区别，并介绍了组合数公式及其四个常用结论，这些结论在简化计算中极为关键。此外，课程通过实际题目演示了组合数公式的应用，教授了如何通过分类讨论、几何图形条件和位置选择来解决问题。最后，课程通过分书问题讲解了先分组再全排的策略，展示了如何处理含有相同元素组的情况。
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1、排列的概念，是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。排成的序列的种类数目就被称为排列数。从$n$个不同元素中取出$m$个元素进行排列的排列数记为$A^{m}_{n}$。右下方的数字代表可选元素的总数，右上方的数字代表需要选出的元素的数目。
2、
排列数公式$A^{m}_{n}$ 的值就等于从$n$开始，倒数的$m$个数相乘。
3、
最后是全排列，$n$个不同元素的全排列数，就等于$n$的阶乘。
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1、环形排列中每个位置的地位是完全一样的，通过旋转总能到达同一个位置。如果给每个位置都被编上了号码，就算看起来是环形排列，但其实还是条形排列
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真正的环形排列问题主要有两种：围坐问题和珠链问题。其中，珠链问题不存在顺时针和逆时针的方向区别，但是围坐问题存在
3、
对于围坐问题，从$n$个人中选出$m$个人围坐，共有$\dfrac{A^{m}_{n}}{m}$种不同的坐法。对于全排列的围坐问题，即$n$个人围桌而坐，共有$\dfrac{A^{n}_{n}}{n}$种不同的坐法。其中$A^{n}_{n}=n!$，所以$\dfrac{A^{n}_{n}}{n}=(n-1)!$
4、
在围坐问题的基础上，除以$2$，就得到珠链问题的排列数
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1、组合的概念：从给定个数的元素中取出指定个数的元素，不考虑排序
2、
选取方式的数目就被称为组合数。从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C^{m}_{n}$。$n$和$m$分别代表可选元素的总数和需要选出的元素的数目。组合数等于排列数除以选取元素的全排列数$C^{m}_{n}=\dfrac{A^{m}_{n}}{m!}$。要在题目中准确地判断出是排列还是组合
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1、主要内容就是组合数公式中的四个常用的结论。
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其中第二个结论的能帮我们简化计算。
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第四个结论能帮我们合并组合数。
4、
我们在后续的课程中，会时常用到这4个常用结论，尤其是结论1与结论3在计算中经常使用
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1、第一题的技巧是分类讨论，每类中总数与所取数要确定清楚
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第二题的技巧是要注意几何图形的形成条件。比如圆上任意两点可以构成一条弦、三个不共线的点可以确定一个三角形
3、
第三题的技巧是先选位置，再填数字
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1、本节课把书分成的几组，所含的本数都各不相同，所以可以看成不同的元素
2、
如果其中有几组所含书本的数目相同，那就不能看成不同元素了,下节课会继续探讨
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1、如果数目相同的组都只含有1本书，就可以把这些组留到最后，它们只有一种分法
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如果不止一本书，就要除以数目相同组组数的全排列数
3、
最后一道题告诉我们，如果还要分给不同的人，就要再乘以人数的全排列数。
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