在学习过圆的各种性质和定理后，这章就要研究圆和其他图形的位置关系了。包括圆和直线，以及圆和多边形。圆和直线最常考察的位置关系就是相切，因为这时会产生很多特殊的角度和长度关系，搭配上相似和全等，各种考题层出不穷，也是这一章的难点。所以这一章涉及的图形很多，三角形，四边形，直线，圆，之前学过的几何知识都会一起来考察，综合题的难度就会很大。超级课堂会把各个知识点和技巧，融合相关题目，讲解的有条不紊，深入浅出，想在圆这章有质的飞跃的同学们，赶快加入学习吧。
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1、直线与圆三种位置关系的定义
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直线与圆有两个公共点就相交；一个公共点：相切；没有公共点：相离
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实用的性质和判定定理，就是比较圆心到直线距离和半径的大小关系
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直线$l$和$\bigodot O$相交$d＜r$
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直线$l$和$\bigodot O$相切$d=r$
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直线l和$\bigodot O$相离$d＞r$
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一道动点，动圆的题目，注意临界点的确定
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1、切线判定的基本原理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
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我们学习了解题的第一种方法：当没有给出直线与圆的公共点时“作垂直，证半径”。
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1、我们学习了解题的第二种方法：当明确给出了直线与圆的公共点时“连半径，证垂直”。
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所以判定切线的第一步一定要观察公共点是否存在，再选择使用哪种方法解决，获得擦边而过的证据。
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1、切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线。
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切线性质的“知二推一”： 如果某条直线满足下面三个条件中的两个，那么它一定满足第三个。(1)经过圆心，(2)经过切点，(3)垂直于切线。
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1、我们介绍了切线性质的应用。
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由切线性质产生的一种辅助线的做法，“连结圆心与切点”，可以获得垂直和半径两条关键信息，成为解决切线问题的不二法门。
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1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。
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切线长的第一个性质：对于确定的圆，切线长的大小取决于圆外点到圆心的距离，距离越大切线长越大。
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切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。它常用于求长度或角度的题目中。
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1、“玩转切线长相等关系”的方法其实很明显，就是通过多对相等的切线长，进行线段的等量代换，构造出方便求长度，或是长度固定的图形。
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美味的哈根达斯图形，切线长定理告诉我们它的两边长度是相等的，这样甜筒才能平稳地托住冰激凌球，这也是其中蕴含的物理学原理。
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1、切线长定理中，平分角性质的应用
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当图形中切线比较多，要研究角度关系时，可以用到这个性质
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切线长定理的三个推论，它们都是为了彻底说明甜筒图形具有对称性
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切线长定理中涉及的长度和角度相等的关系，在今后更加复杂的图形中还会经常出现，成为我们寻找解题线索的突破口
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1、弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
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弦切角定理的内容：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
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1、我们介绍了弦切角定理的作用和应用：完成弦切角与圆周角的相互转化，进而帮助我们计算或证明有关弦切角的问题。
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有了无间道专用的弦切角定理，圆内部和外部的角，就有了渗透和默契，对于一举攻破更复杂的几何图形，产生了极大的帮助。
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1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
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切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
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切割线定理的推论—割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
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圆内的线段比例，都是建立在相似三角形的基础上的。圆内之所以有那么多相似三角形，就是因为圆内的角度关系
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1、相交弦、切割线定理还有割线定理总结得出圆幂定理。
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圆幂定理：过一个定点$P$的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值$\left | OP^{2}-r^{2} \right |$。
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通过圆幂定理，三位一体结合，原来他们的本质是完全一致的，圆的半径大小，点圆位置，也就是$OP$的距离，就只有这两点决定了$PA$和$PB$这两条线段的长度乘积。
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1、我们讲解了一道运用圆幂定理解决的高阶例题，同学们注意体会。
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1、内切圆的定义：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,它在圆的内部。内切圆的圆心叫做内心，三角形叫做圆的外切三角形。
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我们学习了三角形内心的前两句独白，也就是前两条性质：(1)内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆的半径；(2)内心是三角形的三条角平分线的交点。
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1、我们学习了三角形内心的第三句独白，也就是第三条性质：(3)顶角和张角的关系：若$O$是三角形$ABC$的内心，则满足：$\angle BOC=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}\angle A$，张角等于顶角的一半再加上$90^{\circ}$。
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1、认识三角形和内切圆的对应关系：一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形。
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1、对于圆的外切三角形，若$\triangle ABC$的三边切圆$O$于$D,E,F$三点，则$AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$；$BF=BD=\frac{a+c-b}{2}$；$CD=CE=\frac{a+b-c}{2}$。
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1、对于圆的外切四边形，两组对边的和相等。
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DNA会断裂重组，同样，根据切线长定理，我们看到了多边形的周长也会由于内切圆，发生有趣的瓦解重组，产生具有技巧性的性质和公式。
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1、三角形内切圆的半径公式，利用面积法推导得到。半径等于两倍的面积除以周长$r=\frac{2S}{L}$
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三角形肚子里的圆，跟面积和周长有关。三角形的面积、周长、内切圆半径，三条信息，“知二求一”
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对于边长为$a$的等边三角形，化简得到：内切圆半径就是边长的六分之根号$3$倍
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对于一般三角形，知道了三边也可以求出内切圆半径，周长就是$a+b+c$，至于面积呢，就要求高。对于内部左右两个直角三角形，使用勾股定理，列个方程就搞定了
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1、面积法推导出任意多边形内切圆半径的求法，还是公式 。面积、周长、内切圆半径“知二求一”
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面积法的应用，要注意的是分割多边形的方法，连接圆心和各切点和顶点
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对于直角三角形，超级课堂给出了一个独创的算法
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