本课程深入探讨了容斥原理及其在解决重叠问题中的应用，首先介绍了容斥原理的基本公式，解释了如何在两量重叠问题中去除重复计数，并通过韦恩图形象展示了这一概念。接着，课程深入讲解了三量重叠问题的公式，指导学生如何准确计算至少满足一类条件的个数。此外，课程还介绍了补漏法和方程法，帮助学生处理特殊条件下的三量重叠问题。课程进一步探讨了极限法、分步法和反面法，为解决最值问题提供了多种思路。
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1、容斥原理的公式一，也被称作两量重叠问题：如果被计数的事物有A、B两类，则A或B=A+B-A且B。也可以根据韦恩图“总数，等于两类数目之和，减去重复数目”这个方式去形象记忆。
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有的题目在公式一的基础上还存在“非A且非B”。这种情况不过就是扩大了全体数目的范围，稍做变形可知，A且B=A+B+非A且非B-全体数目。
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1、两种韦恩图，不重合的区域分别有三块和四块。对应的类别分别是“A且非B”、“B且非A”、“A且B”和“非A且非B”，这些区域能帮助我们进行无重复分类。
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我们用容斥原理解决了两道数论类的题目，它们都符合相同的韦恩图模型。
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1、由韦恩图发现，若A且B达到最大值，为A、B中较小一类的数目，则A或B达到最小值，为A、B中较大一类的数目。非A且非B也达到最大值，为全体数目-A、B中较大一类的数目；若A且B达到最小值0，则A或B达到最大值，为A+B。非A且非B也达到最小值，为全体数目-A-B。
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1、如果全体小于A+B，则A、B两圆无法完全分离的，总有重叠部分。此时，“A或B”的最大值就是全体数目，“非A且非B”的最小值就是0，“A且B”的最小值就是A+B-全体数目。
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1、容斥原理的公式一可以解决两图形的重叠问题，两图形的覆盖面积，等于它们的面积和，减去重叠区域的面积。
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对于多个有重叠的几何图形，如果重叠部分都是由其中两个图形产生的，那么这些图形覆盖的面积就等于所有图形的面积和减去所有重叠部分的面积。
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在例题中，我们通过割补法，确定了不规则四边形的面积等于所在大正方形面积的四分之一。
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如果重叠区域很多，我们可以通过列等式的方式来研究面积关系。
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1、三量重叠问题的公式，即容斥原理的公式二：如果被计数的事物有$A$、$B$、$C$三类，那么$A$类或$B$类或$C$类事物个数$=A$类事物个数$+B$类事物个数$-$既是$A$类又是$B$类的事物个数$-$既是$A$类又是$C$类的事物个数$-$既是$B$类又是$C$类的事物个数$-$既是$A$类又是$B$类又是$C$类的事物个数
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在具体计算时为了方便可以将条件分为这三类：满足某一类的、满足两类的，以及满足三类的个数。用满足某一类的个数和减去满足两类的个数和，再加上满足三类的个数，得到的就是至少满足一类的个数
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在三量重叠问题中，全体个数$=A$或$B$或$C$的个数加上非$A$非$B$非$C$的个数。
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如果不存在三层重叠，且两层重叠区域和覆盖面积一样大，可以用重叠的扇形来表示，它们相互重叠后会围成一个整圆。
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1、三量重叠问题中的两层重叠分别是$A$与$B$、$A$与$C$和$B$与$C$代表的两类重叠；以及$A$、$B$、$C$的三类重叠
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注意这两种说法："满足$A$和$B$的"和"只满足$A$和$B$的"，满足$A$和$B$的是所有$A$、$B$重叠的部分，包含$A$、$B$、$C$重叠的部分；而只满足$A$和$B$的要从$A$、$B$重叠的部分中减掉$A$、$B$、$C$重叠的部分
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为了准确利用公式二可采用两种针对"只满足$A$和$B$的"这种条件的方法：补漏法与方程法，其中方程法可以配合韦恩图来操作
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1、介绍处理三类重叠问题的四种思路，第一种是极限法：(1)当已知三种两类重叠的个数时，三类重叠的个数最大值就是其中两类重叠的最小值，而如果没有全体个数的限定，三类重叠的个数最小值就是$0$。
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(2)如果条件有全体个数的限定，三类重叠的个数最小值还是$0$，而最大值则需要通过公式二来计算得到，即全体个数$-$一类个数和$+$两类重叠个数和
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第二种是分步法：分为两步，先讨论其中两类重叠的个数，再讨论它与第三类重叠的个数，分步法在操作时还可以结合线形图。
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1、正面和反面，在韦恩图中刚好能构成全体。重叠类“A且B”的反面是“非A或非B”，即至少不属于其中一类。
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多量重叠部分“A且B且C”的反面就是“非A或非B或非C”。
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由正反两类数目相加等于全体可知，当一类的数目达到最大值时，另一类的数目必然就是最小值。这就是反面法解决最值问题的原理。
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